Quadrados Mágicos

Analisando este amontoado de números acima uma dorzinha de cabeça é questão de tempo. São 49 algarismos de 1 a 49, não repetidos, que surpreendentemente estão dispostos de uma forma que somados na vertical, horizontal ou diagonal, apresentam idêntico valor, no caso acima 175. Em suma, um belo exemplo de quadrado mágico.

As primeiras referências aos quadrados mágicos são de 4.000 A.C. e tinham suas principais origens na Índia. De lá a mania passou para os povos árabes, que acreditavam que tais combinações numéricas possuíam propriedades misteriosas. Já na Europa, na idade média, eram manuseados por alquimistas e astrólogos, inclusive como talismã.

O estudo dos quadrados mágicos não é somente distração. Várias teorias de resolução foram elaboradas por eminentes matemáticos. Um dos procedimentos mais conhecidos para resolução de quadrados mágicos ímpares é conhecido como Procedimento Hindu e se resume a apenas seis regras, que estão abaixo transcritas, tendo como exemplo o quadrado acima (7 x 7), porém as regras valem para outras dimensões ímpares(3 x 3, 5 x 5, etc):

• Regra nº 1: Coloque o número 1 na coluna do meio da linha superior e o número 2 coluna imediatamente à direita da linha inferior.
  
• Regra nº 2: Os números seguintes (3 e 4) devem ser escritos na diagonal ascendente à direita até acabar o quadrado.
  
• Regra nº 3: Suba uma linha e reinicie o preenchimento na célula da extrema esquerda (5). Repetir a regra nº 2 e colocar os demais números (6 e 7) até acabar o quadro .
  
• Regra nº 4: Quando chegar a uma célula já ocupada (1) mantenha a mesma coluna, porém desça uma linha e coloque o próximo número (8). Repetir a regra nº 2 e colocar os demais números (9 e 10) até acabar o quadro.
  
• Regra nº 5: Coloque o próximo número (11) na coluna imediatamente à direita da linha inferior, conforme a regra nº 1. Repetir a regra nº 2 e colocar os demais números (12) até acabar o quadro. Repetir a regra nº 3 e colocar os demais números (13, 14, 15, 16, 17, 18 e 19).
  
• Regra nº 6: Quando chegar à última célula do ângulo superior direito (28) mantenha a mesma coluna, porém desça uma linha e coloque o próximo número (29). Repetir regra nº 3.
  

Seguindo estas pequenas regras, é possível resolver qualquer problema de quadrado mágico ímpar em poucos minutos. Caso o quadrado seja par (4 x 4, 6 x 6, 8 x 8, etc) os procedimentos serão outros e serão comentados em um futuro post.

Outro fato interessante sobre os quadrados mágicos é a forma de descobrir qual o valor do somatório das linhas, colunas e diagonais. Para tanto, basta somar todos os números e dividir pelo número de células de cada face. Esta forma serve tanto para quadrados ímpares, quanto pares, conforme exemplos abaixo:

• Exemplo 1: um quadrado mágico (3 x 3) tem em seu interior os números de 1 a 9, que somados totalizam 45. Dividindo 45 por 3 (número de células de cada face) obteremos o resultado de 15, ou seja, as somas das linhas, colunas ou diagonais de um quadrado mágico (3 x 3) será sempre 15.
  
• Exemplo 2: um quadrado mágico (4 x 4) tem em seu interior os números de 1 a 16 que somados totalizam 136. Dividindo 136 por 4 (número de células de cada face), obteremos o resultado de 34, ou seja, as somas das linhas, colunas ou diagonais de um quadrado mágico (4 x 4) será sempre 34.

Se você teve paciência de ler até aqui, meus parabéns! Agora é só treinar um pouquinho e surpreender os amigos com suas rápidas soluções. Em breve veremos outro método para solução de quadrados mágicos ímpares, além da prometida solução para quadrados pares.